מאת: demy.co.il
ברוכים הבאים ל-demy.co.il!
אם הגעתם לכאן, כנראה שגם אתם מרגישים שבבית הספר מלמדים מתמטיקה בצורה טכנית מדי. במקום להבין את ההיגיון, מבקשים מאיתנו לשנן נוסחאות כמו מינוס כפול מינוס זה פלוס.
אבל בדמי אנחנו לא לומדים רק ממחברת משבצות ועטים – אנחנו מבינים מתמטיקה דרך החיים והגוף.
1. המושג שאף אחד לא מסביר כמו שצריך: ערך מוחלט
אם אתם בכיתה ז' (או בכיתה י"ב, או הורים שמנסים לסגור פער) – אל תדאגו. נסגור את הפינה הזו ביחד כאן.
אולי שמעתם בכיתה את המושג "ערך מוחלט". מורים בדרך כלל אומרים שזה "המרחק מאפס" או "המספר בלי הסימן". אבל זה מושג שצריך להתמקד בו הרבה יותר ממה שמבקשים בדרך כלל.
בואו נתחיל ממה שאנחנו מכירים – מספרים "רגילים" (טבעיים): מתחילים מ-0 או 1, ואז 2, 3 וכך הלאה.
לכל מספר כזה קיים המינוס שלו. אל תנסו עדיין להבין מה זה אומר במציאות, רק שתדעו שהוא קיים ומסומן ב-−.
- עבור 2 קיים −2.
- עבור 3 קיים −3.
אפשר להסתכל על זה כעל צמדים: (1, −1), (2, −2), (3, −3).
לכל אחד מהצמדים האלו יש ערך מוחלט – והוא המספר המקורי והטבעי שאיפשר להם להיווצר!
הנקודה הקריטית: המספר הבסיסי והטבעי שממנו יצאנו הוא זה שמאפשר בכלל לייצר את המינוס. בלעדיו לא היינו יכולים לייצר שליליים. זהו הערך המוחלט.
2. למה בכלל צריך מינוסים? (הכוס והחלל הריק)
אז למה הומצאו המינוסים?
אם מספרים רגילים מודדים כמויות קיימות, המינוסים מאפשרים לנו לדבר על הכמות שלא קיימת (או על החוזק של החוסר).
כן, זה מורכב להבנה במבט ראשון, אבל בואו ניקח דוגמה מוחשית:
ניקח למשל כוס מים.
- אפשר להכניס אליה כמות מסוימת של מים – המספר הטבעי שלה הוא כמות המים שהיא מחזיקה (או הקיבולת שלה).
- עכשיו, אם נתמקד לא בכוס עצמה ולא במים שיש בה, אלא בחלל הריק שבתוכה (בחוסר המים ביחס ליכולת שלה) – אנחנו חושבים על פעולת המינוס של אותה כמות.
זה מראה לנו שזאת אותה כוס, אבל אפשר להסתכל עליה בשתי צורות:
- כמה מים היא מכילה? (המספר החיובי)
- כמה מים היא לא מכילה ביחס ליכולת שלה? (המספר השלילי)
ומכאן אנחנו רואים שאנחנו חייבים את כמות המים שהכוס יכולה להכיל (המספר הטבעי) כדי להתייחס אליה כמספר שלילי! המספר הטבעי הוא הבסיס, והוא זה שיוצר את המספר השלילי.
3. יוצאים לחדר: צעדים וסיבובים
ככל שרואים יותר דוגמאות מוחשיות, ככה מבינים יותר. מתמטיקה באה לספר לנו סיפור על העולם בצורה אבסטרקטית ומופשטת, ואנחנו צריכים ללמוד איך לתרגם את זה לדברים שאנחנו חווים.
דמיינו שאתם עומדים בחדר:
- אם תצעדו 4 צעדים קדימה, תגיעו לנקודה שרחוקה 4 צעדים מאיפה שעמדתם – זהו המספר הטבעי של המרחק.
- מהו המינוס כאן? תעצרו רגע ותחשבו...
- מינוס במובן הזה הוא מספר צעדים לאחור (או לכיוון השני בדיוק).
למשל: הלכתם 4 צעדים קדימה, ועכשיו עשיתם צעד אחד אחורה (כלומר −1) – הגעתם למרחק של 3 צעדים מנקודת ההתחלה!
4. מה קורה כשחוצים את הדלת?
אוקיי, הליכה קדימה ואחורה זה נחמד, אבל זה לא יספיק כדי לפתור תרגילים במבחן, כי בתרגילים יכול להתקבל מינוס בתוצאה הסופית.
בשביל זה נוסיף לסיפור אלמנט נוסף: דלת בחדר שבצד השני שלה יש חדר אחר.
כשצועדים אחורה מספיק צעדים, חוצים את הדלת ומגיעים לחדר השני.
- אם עמדנו בנקודת ההתחלה (ליד הדלת) ומייד עשינו צעד אחד לאחור – עכשיו אנחנו במיקום של −1 ביחס לחדר הפנימי.
- במציאות הפיזית בטבע, אנחנו עדיין במרחק של צעד אחד מהדלת (זהו הערך המוחלט – המרחק הוא 1).
- אבל אם נשאל *"כמה התקדמנו לצד הפנימי של החדר?"* – התשובה היא −1!
5. הסוד של הסוגריים והסיבובים (ומינוס על מינוס)
איך מבינים סוגריים וסימנים כפולים בלי לשנן?
בואו נוותר רגע על הליכה לאחור, ונחליט שיש לנו רק אפשרות אחת: להסתובב לצד השני ולצעוד קדימה. בכל פעם שנראה סימן מינוס (−), נחליט שהוא אומר לנו להסתובב לכיוון ההפך, והמספר שאחריו אומר כמה צעדים לצעוד!
מה קורה בתרגיל 4 − (−2)?
- צועדים 4 צעדים קדימה.
- רואים מינוס ראשון ← מסתובבים.
- רואים מייד עוד מינוס ← מסתובבים שוב פעם!
- לאיזה כיוון אנחנו מסתכלים עכשיו? לכיוון המקורי!
- צועדים 2 צעדים קדימה.
קיבלנו:
4 − (−2) = 4 + 2 = 6
מה קורה כשנכנסים לסוגריים מורכבים יותר? (למשל: 4 − (3 − 1))
- מתקדמים 4 צעדים קדימה.
- פוגשים מינוס לפני הסוגריים ← מסתובבים.
- נכנסים לתוך הסוגריים: הולכים 3 צעדים, ואז פוגשים מינוס נוסף בפנים ← מסתובבים שוב והולכים צעד אחד.
- כלל הברזל של הסוגריים: ברגע שסגרנו את הסוגריים (סיימנו את החישוב הפנימי), אנחנו חייבים לחזור ולהביט לכיוון שאיתו התחלנו את הסוגריים! המבט חוזר לכיוון המקורי, וממשיכים הלאה.
4 − (3 − 1) = 4 − 2 = 2
בשורה התחתונה
כשמבינים שהמספר הטבעי הוא הערך המוחלט שממנו הכל נולד, והשלילי הוא בסך הכל הסתכלות על החסר, סיבוב במרחב ושמירה על כיוון המוצא – כל המחסומים נופלים.
רוצים לראות איך אנחנו פותרים תרגילים כאלה בלייב?
כנסו לשיעורים ב-demy.co.il ובואו נלמד מתמטיקה בדרך שעובדת!